Napięcie na rezystorze zależy od płynącego prądu. Jeśli podłączysz miernik, przez który prąd płynie bardzo mały, to napięcie się nie obniży. Musiałbyś połączyć dwa rezystory szeregowo, wtedy byś zauważył spadek napięcia.
Co do LED - normalnie potrzebuje do świecenia prądu o określonej wartości, zwykle to jest około 10mA, jednocześnie dając spadek napięcia rzędu 2V. Aby uzyskać taki prąd przy spadku napięcia 15V-2V=13V na rezystorze, rezystor powinien mieć wartość rzędu 1300om. Oczywiście tolerancja jest dosyć duża - może być od 500om do 5kom, zależy już od tego, jaką chcesz intensywność świecenia.
Jeśli prąd jest przemienny, może być zauważalne migotanie diody, szczególnie przy szybkim ruchu oczami.
W sprzedaży są też diody "motoryzacyjne", na 6V czy 12V, co mnie swego czasu zdziwiło. Po prostu przy wyższym napięciu trzeba połączyć diodę szeregowo z rezystorem…